MATLAB으로 유한요소 해석하기 (보 응력 해석)(1)

안녕하세요~ 또 다시 매트랩으로 유한요소 해석하기 시리즈가 계속해서 진행이 될텐데요. 저번 시간에는 모어원을 이용해서 작은 Element가 어떻게 응력 변환을 하는지에 대해 알아보고 이를 매트랩 GUI를 프로그래밍 해보았는데요. 이번 시간에 할 건 좀 더 복잡합니다 ㅎㅎ

유한요소해석 강의를 들어보신 분들은 알겠지만 진짜 유한요소의 시작은 노드(Node)와 요소(Element)를 쪼개는 것부터 시작을 하거든요..그래서!

!!

 

이 부분을 이번시간에는 다뤄볼까 합니다.. 우선 위 사진은 대학교 자료이고 (출처: technische Universität Ilmenau) 모두 독일어로 되있어서 보기 힘드시죠?  하핫..

Federelement 가 용수철 요소로 해석을 한거고

Stabelement 가 막대 요소로 해석을 한거라 

차이점을 말하자면 용수철 요소에는

기입 되는 정보가 용수철 상수 k인 반면

막대 요소에는, 고체역학에서 공부해보신 분들은 아시겠지만, E-Modul 과 같은 보에서 다루는 요소들이 복합적인 상수로 등장을 합니다.

즉 위와 같은 방법은 유한요소해석의 기초 방법으로서 독일어로는 Steifigkeitsmethode 라고 부르고 영어로는 Stiffness method 한국어로는.. 음.. 뭐랄까요

요소 특성 행렬 해석법? 이라고 보시면 될거 같네요. 유한요소법은 편미분 방정식을 직접 풀지 않고 Linear Algebraic Equation 으로 근사하여 푸는 방식이기 때문에 해석 영역의 성질과 영역에 미치는 작용 그리고 그 결과 영역에 발생하는 거동사이의 관계를 나타냅니다.

이 방정식에 대한 이야기는 여기서 끝내구요. 제가 다룰 부분은 이 부분에 대해 충분히 아신다는 가정하에 프로그래밍을 진행하는 것이기 때문에 아무래도 유한요소법을 배우지 않은 분들께는 어려움이 있을 수 있죠

자!

그러면

저는 보의 응력을 해석 할 것이기 때문에 막대 요소로 해석을 할 것이고 이에 따라 성질(혹은 특성)에 해당되는 부분은 위 그림 에서처럼

보의 경우에는 다음과 같은 식으로 표현이 가능합니다.

여기서 E 는 탄성계수

A 는 단면적

L 은 요소의 길이 입니다.

 

그러면 이 정도로 기본적인 설명이 끝났다고 생각하고.. 서론이 길었네요 ㅎㅎ 죄송

프로그래밍을 하려는 주 문제로 넘어가겠습니다.

 

문제는 간단히

본 문제

이런 모습이구요 이를 막대요소로 단순화 시켜 보았습니다.

단순화 막대 모형

주어진 점은 위 본 문제에서 보시다 시피..

E1 = 1Mpa   E2=2Mpa   E3=3Mpa

A1=100mm^2   A2=25mm^2   A3=400mm^2

L1=20mm   L2=50mm   L3=10mm

F2=20N   F3=-30

 

그러면 각 요소의 특성행렬 방정식은

이 되고

총 특성행렬은 아래와 같이 표현이 됩니다^^^

 

전체 요소의 특성 행렬

이 특성 행렬을 가지고 유한요소해석을 위한 Linear Algebraic Equation

특성 행렬 방정식을 세워보겠습니다.

가 되겠군요

이제 식은 다 세웠으니

남은건 프로그래밍을 하는 것 뿐이로군요 ㅎㅎ^^

포스팅이 많이 길어졌으니 다음 시간에는 프로그래밍 위주로 본격적으로 고고싱 하겠습니다아~~^^^^